1. Relasi dalam Konsep Himpunan
Relasi dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) adalah himpunan bagian dari hasil kali kartesian \( A \times B \).
Jika \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{x, y\} \), maka \( A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\} \).
2. Relasi dalam Pasangan Terurut
Setiap relasi dapat direpresentasikan dengan pasangan terurut \( (a, b) \) yang menyatakan bahwa elemen \( a \in A \) berelasi dengan \( b \in B \).
Notasi: \( a \mathrel{R} b \iff (a, b) \in R \)
3. Sifat Relasi
- Refleksif: \( \forall a \in A, (a,a) \in R \)
- Simetris: \( \forall a,b \in A, (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R \)
- Transitif: \( \forall a,b,c \in A, (a,b) \in R \land (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R \)
Contoh: Misalkan \( R \) adalah relasi “memiliki selisih genap” pada himpunan bilangan bulat. Maka:
- \( R \) refleksif: \( a – a = 0 \), genap
- \( R \) simetris: Jika \( a – b \) genap, maka \( b – a \) juga genap
- \( R \) transitif: Jika \( a – b \) dan \( b – c \) genap, maka \( a – c \) juga genap
II. Relasi Ekuivalen dan Relasi Sebagai Graf
1. Relasi Ekuivalen
Relasi \( R \) pada himpunan \( A \) disebut relasi ekuivalen jika memenuhi ketiga sifat berikut:
- Refleksif
- Simetris
- Transitif
Relasi ini membagi himpunan \( A \) ke dalam kelas-kelas ekuivalensi. Dua elemen \( a, b \in A \) adalah ekuivalen jika \( a \mathrel{R} b \).
Contoh:
Relasi \( a \equiv b \pmod{3} \) pada himpunan bilangan bulat adalah relasi ekuivalen karena memenuhi semua sifat di atas.
2. Relasi Sebagai Graf
Relasi pada himpunan dapat direpresentasikan menggunakan graf berarah.
Setiap elemen direpresentasikan sebagai simpul, dan pasangan terurut \( (a, b) \in R \) digambarkan sebagai sisi berarah dari simpul \( a \) ke simpul \( b \).
Contoh:
- Jika \( R = \{(1,1), (1,2), (2,2)\} \), maka:
- Ada panah dari 1 ke 1 (refleksif)
- Ada panah dari 1 ke 2
- Ada panah dari 2 ke 2 (refleksif)
Representasi graf memudahkan identifikasi sifat-sifat relasi secara visual (refleksif = ada loop, simetris = panah bolak-balik, transitif = panah tidak langsung).