🎯 Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan dapat:
- Menjelaskan jenis-jenis operasi antar himpunan.
- Melakukan operasi himpunan secara simbolik dan menggunakan diagram Venn.
- Mengaplikasikan operasi himpunan dalam konteks pemecahan masalah.
🔹 1. Operasi Dasar Antar Himpunan
Misalkan terdapat dua himpunan \( A \) dan \( B \), maka:
a. Irisan (Intersection)
Simbol: \( A \cap B \)
Definisi: Himpunan elemen yang terdapat pada kedua himpunan \( A \) dan \( B \).
Contoh:
- Jika \( A = \{1, 2, 3\} \), dan \( B = \{2, 3, 4\} \), maka:
\[
A \cap B = \{2, 3\}
\]
b. Gabungan (Union)
Simbol: \( A \cup B \)
Definisi: Himpunan semua elemen yang terdapat pada \( A \) atau \( B \), atau keduanya.
Contoh:
\[
A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}
\]
c. Selisih (Difference)
Simbol: \( A – B \) atau \( A \setminus B \)
Definisi: Himpunan elemen yang terdapat pada \( A \) tetapi tidak pada \( B \).
Contoh:
\[
A – B = \{1\}
\]
d. Selisih Simetris (Symmetric Difference)
Simbol: \( A \triangle B \)
Definisi: Himpunan elemen yang terdapat pada \( A \) atau \( B \), tetapi tidak pada keduanya.
Rumus:
\[
A \triangle B = (A – B) \cup (B – A)
\]
Contoh:
\[
A \triangle B = {1, 4}
\]
🔹 2. Komplemen Suatu Himpunan
Misalkan semesta \( S = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), dan \( A = \{1, 3\} \), maka:
\[
A^c = S – A = \{2, 4, 5\}
\]
🔹 3. Identitas dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Asosiatif | \( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \) |
| \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \) | |
| Komutatif | \( A \cup B = B \cup A ), ( A \cap B = B \cap A \) |
| Distributif | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) |
| \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) | |
| Identitas | \( A \cup \emptyset = A ), ( A \cap S = A \) |
| Invers/Komplemen | \( A \cup A^c = S ), ( A \cap A^c = \emptyset \) |
| Hukum De Morgan | \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c ), ( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \) |
🔹 4. Representasi Visual: Diagram Venn
Diagram Venn adalah alat bantu visual untuk menunjukkan hubungan antar himpunan seperti irisan, gabungan, dan komplemen. Mahasiswa disarankan untuk menggambarnya secara manual atau menggunakan software seperti GeoGebra untuk latihan visualisasi.
🔹 5. Aplikasi dalam Soal Cerita
Contoh Soal:
Dalam sebuah kelas:
- 30 mahasiswa mengambil Matematika \(( M )\)
- 20 mahasiswa mengambil Fisika \(( F )\)
- 10 mahasiswa mengambil keduanya
Berapa banyak mahasiswa yang:
- a. Mengambil hanya Matematika?
- b. Mengambil setidaknya satu mata kuliah?
Penyelesaian:
- a. \( |M – F| = 30 – 10 = 20 \)
- b. \( |M \cup F| = |M| + |F| – |M \cap F| = 30 + 20 – 10 = 40 \)
✏️ Latihan Mandiri (Jawab di kolom komentar)
Diberikan:
- \( A = {x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 5 } \)
- \( B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \)
Tentukan:
- \( A \cup B \)
- \( A \cap B \)
- \( A – B \)
- \( B – A \)