I. Proposisi, Hubungan Logis, dan Keekuivalenan
1. Proposisi dan Nilai Kebenaran
Proposisi adalah pernyataan yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false). Contoh:
- “2 adalah bilangan genap” — Benar
- “3 adalah bilangan genap” — Salah
Notasi:
- \( p: \text{“2 adalah bilangan genap”} \Rightarrow \text{Benar} \)
- \( q: \text{“3 adalah bilangan genap”} \Rightarrow \text{Salah} \)
2. Kuantor
Kuantor digunakan dalam logika predikat. Dua jenis utama:
- Kuantor Universal: \( \forall x, P(x) \) → “Untuk semua \( x \), berlaku \( P(x) \)”
- Kuantor Eksistensial: \( \exists x, P(x) \) → “Ada \( x \) yang memenuhi \( P(x) \)”
3. Penghubung Logika (Connectives)
| Nama | Simbol | Contoh |
|---|---|---|
| Negasi | \( \neg p \) | Jika \( p: \text{“hari hujan”} \), maka \( \neg p: \text{“hari tidak hujan”} \) |
| Konjungsi | \( p \land q \) | Benar hanya jika keduanya benar |
| Disjungsi | \( p \lor q \) | Benar jika salah satu benar |
| Implikasi | \( p \rightarrow q \) | Benar kecuali saat \( p \) benar dan \( q \) salah |
4. Keekuivalenan Proposisi
Dua proposisi ekuivalen jika nilai kebenarannya selalu sama. Misalnya:
- \( p \rightarrow q \equiv \neg p \lor q \)
- \( \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \) (Hukum De Morgan)
II. Penarikan Kesimpulan
1. Tautologi dan Kontradiksi
- Tautologi: proposisi yang selalu benar, misalnya \( p \lor \neg p \)
- Kontradiksi: proposisi yang selalu salah, misalnya \( p \land \neg p \)
2. Argumen Sah (Valid)
Argumen disebut valid jika kesimpulan logis mengikuti dari premis-premis. Contoh:
Premis: \( p \rightarrow q \), dan \( p \)
Kesimpulan: \( q \)
Ini adalah bentuk modus ponens, dan valid.
3. Kebermaknaan dan Keabsahan Argumen
Keabsahan menyangkut struktur logis, sedangkan kebermaknaan menyangkut isi argumen. Argumen bisa sah secara logika tapi tidak bermakna secara konteks.
🧠 Contoh Soal Latihan
- Nyatakan dalam bentuk simbol proposisi: “Jika hari hujan, maka saya membawa payung.” Jawaban: \( p: \text{hari hujan}, q: \text{saya membawa payung} \Rightarrow p \rightarrow q \)
- Tentukan nilai kebenaran dari \( p \land (q \lor \neg r) \), jika: \( p = T, q = F, r = F \)
Jawaban:- \( \neg r = T \)
- \( q \lor \neg r = F \lor T = T \)
- \( p \land (q \lor \neg r) = T \land T = T \)
- Buktikan bahwa \( \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q \) menggunakan tabel kebenaran. (Latihan mandiri)