I. Sifat Operasi dan Identitas
- Sifat Komutatif: \( a + b = b + a \), \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Sifat Asosiatif: \( (a + b) + c = a + (b + c) \), \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Sifat Distributif: \( a(b + c) = ab + ac \)
- Unsur Identitas:
- Penjumlahan: \( a + 0 = a \)
- Perkalian: \( a \cdot 1 = a \)
- Unsur Invers:
- Penjumlahan: \( a + (-a) = 0 \)
- Perkalian (untuk \( a \neq 0 \)): \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)
II. Garis Bilangan dan Bilangan Real
Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional, serta direpresentasikan sebagai titik-titik pada garis bilangan.
III. Sifat Urutan Bilangan Real
- Jika \( a < b \), maka \( a + c < b + c \)
- Jika \( a < b \) dan \( c > 0 \), maka \( ac < bc \)
IV. Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan: Bentuk seperti \( x + 2 = 5 \)
Pertidaksamaan: Bentuk seperti \( x – 3 < 7 \)
Solusi Pertidaksamaan
Contoh:
Jika \( 2x – 1 \leq 5 \), maka:
- \( 2x \leq 6 \)
- \( x \leq 3 \)
V. Supremum dan Infimum
- Supremum (sup): batas atas terkecil dari himpunan
- Infimum (inf): batas bawah terbesar dari himpunan
Contoh: Untuk himpunan \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} \), maka:
\( \sup A = 1 \), \( \inf A = 0 \)
VI. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
Bilangan real lengkap: setiap himpunan terbatas atas memiliki supremum di \( \mathbb{R} \).
VII. Barisan
Barisan: Fungsi dari \( \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \), ditulis sebagai \( \{a_n\} \)
Contoh: \( a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\} \)
Keterbatasan Barisan
Barisan \( \{a_n\} \) dikatakan terbatas jika ada bilangan \( M > 0 \) sehingga \( |a_n| \leq M \) untuk semua \( n \in \mathbb{N} \)
Kemonotonan Barisan
- Naik monoton: \( a_n \leq a_{n+1} \)
- Turun monoton: \( a_n \geq a_{n+1} \)
Contoh:
Barisan \( a_n = \frac{1}{n} \) adalah turun monoton dan terbatas.